好書推薦：《怎樣解題》思維進(jìn)步之梯

　　作者喬治·波利亞（GeorgePolya，1887-1985），美籍匈牙利數(shù)學(xué)家。生于布達(dá)佩斯，卒于美國。波利亞先后在布達(dá)佩斯、維也納、哥廷根，巴黎等地攻讀法律、語言、數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)，獲布達(dá)佩斯大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位，是法國巴黎科學(xué)院、美國全國科學(xué)院和匈牙利科學(xué)院的院士。1914年在瑞士蘇黎世工業(yè)大學(xué)任教，1938年任數(shù)理學(xué)院院長。1940年移居美國，歷任布朗大學(xué)、斯坦福大學(xué)教授。1963年獲美國數(shù)學(xué)會功勛獎。曾著有《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》、《數(shù)學(xué)與猜想》等，它們被譯成多種文字，廣為流傳。

　　《howtosolveit》雖然它討論的是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律，但是對在其他任何領(lǐng)域中怎樣進(jìn)行正確思維都有明顯的指導(dǎo)作用。本書圍繞“探索法”這一主題，采用明晰動人的散文筆法，闡述了求得一個證明或解出一個未知數(shù)的數(shù)學(xué)方法怎樣可以有助于解決任何“推理”性問題——從建造一座橋到猜出一個字謎。

　　在《howtosolveit》一書的開始就介紹了“怎樣解題表”，它是波利亞在分解解題的思維過程得到，而且該表也是該書的精華部分，在該書的后面章節(jié)中就是對“怎樣解題表”的詳細(xì)解釋。波利亞曾經(jīng)指出：“學(xué)數(shù)學(xué)是一種樂趣！”，而在書中他提出的“怎樣解題表”將解題過程分成了四個步驟，只要能夠深刻地理解和掌握這四個步驟，并且熟練地使用，那么學(xué)生能感受到到學(xué)數(shù)學(xué)是一種樂趣。“怎樣解題表”的四個解題步驟總結(jié)起來是“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現(xiàn)計劃”和“回顧反思”

　　怎樣解題表>>>

　　精華一覽>>>

　　第一部分：在教室里

　　*教師應(yīng)當(dāng)把自己放在學(xué)生的位置上，他應(yīng)當(dāng)看到學(xué)生的情況，應(yīng)當(dāng)努力去理解學(xué)生心里正在想什么，然后提出一個問題或是指出一個步驟而這正事學(xué)生自己原本應(yīng)想到的。

　　*如果同一問題不斷地對學(xué)生有所幫助，那么他很難會不注意到這一點，而且這將引導(dǎo)他在相似的情況下自己提出這一問題。反復(fù)提出這個問題，也許有一次他就會成功地得出正確的概念。由于這一成功，他發(fā)現(xiàn)了使用這一問題的正確方法，于是他已經(jīng)真正地消化這一問題了。

　　*教師提問的方法：建議必須簡單和自然，因為不然的話，它們就不可能不露痕跡了。

　　第二部分：怎樣解題

　　*盡可能清晰、生動地使整個題目形象化。暫時拋開細(xì)節(jié)。

　　*當(dāng)你對題目的敘述已經(jīng)很清楚，并在腦海里留下深刻的印象，以至于即使你一會兒不去看它也不會擔(dān)心把它全部忘掉時，就可以開始了。

　　*考慮解答的各個細(xì)節(jié)，并盡可能使它們顯得簡單；考察解答中那些比較冗長的部分并盡可能使它們簡短些；試著一眼就能看出整個解答。

　　第三部分：探索法小詞典

　　1.simplexsigillumveri.(拉丁語：簡單性是真理的標(biāo)志)

　　2.教師們和教科書的作者們不應(yīng)該忘記一點：聰明的學(xué)生和聰明的讀者不會滿足于只驗證推理的各個步驟都是正確的，他們也想知道各個不同步驟的動機(jī)和目標(biāo)。

　　3.在一步步地檢驗一個論證時，我們應(yīng)該避免單純的重復(fù)。首先，單純的重復(fù)容易使人厭煩、缺乏啟發(fā)性、導(dǎo)致注意力渙散。其次，如果情況和上一次相同，我們很可能在犯過錯誤的地方再錯一次。如果我們覺得有必要將整個論證一步一步地再過一遍的話，我們至少應(yīng)該改變一下這些步驟的次序或組合，來引入一些變化。

　　4.如果一個學(xué)生從來沒有機(jī)會解答一道由他自己創(chuàng)造的題目，他的數(shù)學(xué)經(jīng)驗就是不完整的。

　　5.歐幾里得的論證方式，即嚴(yán)格地從已知數(shù)據(jù)進(jìn)展到未知量，從題設(shè)進(jìn)展到結(jié)論的方法，用來詳細(xì)地檢查論證過程是很好的，而用來使我們理解論證的主要思路則還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠好。

　　6.直觀的洞察和形式上的證明是獲得真理的兩種不同的方式，這可以與通過視覺和觸覺這兩種不同的感官來感知一種事物想比擬。

　　7.如果你深入細(xì)節(jié)中去，你就可能會在細(xì)節(jié)中迷失自我。過多過細(xì)的枝節(jié)對思維是一種負(fù)擔(dān)。它們會阻礙你對要點投入足夠的注意力，甚至?xí)�使你全然看不到要點。

　　8.如果我們想研究一些更深入的細(xì)節(jié)，我們應(yīng)該做什么？在通常的情況下，可取的做法是，研究每個數(shù)據(jù)本身，將條件的不同部分分開，并研究每一個部分本身。

　　9.教學(xué)生解題也是一種意志的教育。學(xué)生要解決對他來說并不容易的題目，他將要學(xué)會面對失敗起而不舍，重視小的進(jìn)步，靜候?qū)嵸|(zhì)性的念頭，當(dāng)這一念頭出現(xiàn)后全力以赴。如果學(xué)生在學(xué)校中沒有機(jī)會使自己體會到這種為解題奮斗而帶來的各種情緒變化，他的數(shù)學(xué)教育就在最重要的一點上失敗了。

　　10.有的學(xué)生完全沒有計劃和總體思想，就急于計算和作圖；另一些學(xué)生則傻傻地干等著某個念頭出現(xiàn)，而不會做任何事來加速它的到來。

　　11.不要讓你的懷疑、猜想或臆測不加檢驗地膨脹，直至它變得根深蒂固。無論如何，從理論上說，最好的念頭會因不加鑒別而受損，卻會因嚴(yán)格的檢驗而茁壯。

　　12.越是宏大的計劃，越有機(jī)會獲得成功。較全面的定理可能更容易證明；較普遍的題目可能更容易解答。

　　13.說和想是緊密聯(lián)系的，文字的使用有助于思維。

　　14.相同的一些對象充滿了分析和綜合過程。它們在分析中鍛煉人的思維，在綜合中鍛煉人的體力。分析存在于思維之中，綜合存在行動之中。還有另外一個不同的之處在于：它們的次序恰好相反。

　　15.為了捷達(dá)一道題目的一些只是，此外還還必須在我們已經(jīng)存在的，但原本潛伏著的知識中挑選和收集相關(guān)的內(nèi)容。從記憶中萃取相關(guān)元素可以稱為動員。然而，要解答一道題目，僅僅回憶起一些孤立的事實是不夠的，我們必須把它們組合起來，而且它們的組合必須能很好地適用于我們手頭地題目。這種改編和結(jié)合地活動可以稱之為組織。事實上，動員和組織不可能真正分開。

　　16.發(fā)現(xiàn)的規(guī)則。第一條發(fā)現(xiàn)的規(guī)則是要有智力和好運(yùn)。第二條發(fā)現(xiàn)的規(guī)則是安穩(wěn)地做下來等待，直到你產(chǎn)生一個出色的念頭。

　　17.格式的規(guī)則。第一條格式的規(guī)則是要有話可講。第二條格式的規(guī)則是，當(dāng)你碰巧有兩件事要講時，你要控制好自己，先講第一件，再講第二件，不要同時講兩件事。

　　18.教學(xué)的規(guī)則。第一條教學(xué)的規(guī)則時要知道你應(yīng)該教什么。第二條教學(xué)的規(guī)則是要懂得比你應(yīng)該教的東西多一點。

　　19.在將條件作為一個整體理解了以后，我們將它的不同部分分開，并分別考慮它的每一個部分。

　　20.因而，清楚地理解未知量地性質(zhì)就意味著進(jìn)展；清晰地處置不同數(shù)據(jù)從而使我們能輕易地想起其中地任何一個，也意味著進(jìn)展。將條件作為一個整體來進(jìn)行生動具體地想象可能意味著一個重要的進(jìn)展，而把條件分成幾個適當(dāng)?shù)牟糠忠苍S是向前邁出了重要的一步。當(dāng)我們找到了一個容易想象的圖像，或者是一個容易記憶的符號，我們就有理由相信我們已經(jīng)取得了某個進(jìn)展�；貞浺坏琅c我們的題目有關(guān)并且以前解過的題目，也許是朝正確方向邁出了決定性一步。

　　21.始終跟著你的靈感走——但保持一點懷疑。

　　22.探索式的：如果A則有B。因為B為真，［所以A更可信］。

　　*證明性的：如果A則有B。因為B為假，所以A為假。

　　*對于探索式的方法，首先，它沒有嚴(yán)格證明的確定性；其次，它們本質(zhì)上對于獲取新知識式很有用的，對于任何非純數(shù)學(xué)或邏輯的知識，以及對于涉及物質(zhì)世界的任何知識甚至都是不可或缺的。

　　23.這種偶發(fā)事件給人的印象式潛意識活動。事實是，一道題目在經(jīng)過一段時間的擱置后，可能回重新回到意識中來，而且基本上一清二楚了，比我們把它們拋在腦后時與解答要接近得多。誰使它清楚了，誰使它更接近答案了？明顯的，這就是你自己，你一直在潛意識中活動。除此以外，很難給出其他什么答案，雖然心理學(xué)家們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了另一種答案的開始部分，也許有朝一日它會更令人滿意。

　　*不管潛意識的理論有沒有價值，確定無疑的是，存在一個限度，超出了這個限度我們就不能迫使意識作出反應(yīng)。

　　*不過將我們希望稍后回頭再做的題目沒有取得任何成就的情況下就擱置一邊則是不可取的；再停止工作以前題目至少應(yīng)該已經(jīng)解決了一點，問題的某個方面應(yīng)有所闡明。

　　*只有那些我們熱切地希望解答地題目，或是我們曾經(jīng)很緊張地解答過地題目，回頭再來做時才會有所進(jìn)展；看來要使?jié)撘庾R活動繼續(xù)，主觀意識地努力和緊張也是必不可的。

　　24.如果一道題目具有某些方面的對稱性，我們常常能得益于注意到它可以互換的部分，而且常常值得我們用同樣的方式來處理那些起相同作用的部分。

　　25.未來的數(shù)學(xué)家應(yīng)該是一個聰明的解題者，但僅僅做一個聰明的解題者是不夠的。在適當(dāng)?shù)臅r候，它應(yīng)該去解答重大的數(shù)學(xué)問題，而且首先他應(yīng)該搞清楚他的天資特別適合于哪些類型的題目。

　　*對他來說，工作中最重要的那部分就是回去再看一下完整的解答。

　　*和其他所有人一樣，未來的數(shù)學(xué)家通過模仿和練習(xí)來學(xué)習(xí)。他應(yīng)該注意尋找正確的典范來模仿；他應(yīng)該覺察到一個能激勵人心的教師；他應(yīng)該和一位能干的朋友競賽。然后，可能最重要的是，他不僅應(yīng)該閱讀通用的教材，還應(yīng)閱讀優(yōu)秀作者的作品，直到他找到一個作者，其方式是他天生傾向于模仿的。他應(yīng)該欣賞和尋求在他看來簡單的或有啟發(fā)性的或美的東西。他應(yīng)該解題，選擇適合他思路的那些題目，思考它們的解答，并創(chuàng)造新的題目。他應(yīng)該通過這些方法及所有其他方法來努力作出他的一個重大發(fā)現(xiàn)：他應(yīng)該發(fā)現(xiàn)自己的好惡、趣味以及自己的思路。

　　26.聰明的解題者首先要做的是盡可能充分、清楚地理解題目。然而光有理解是不夠的；他必須全神貫注于題目，他必須熱切地期望獲得解答。如果他不能真正喚起解題地欲望，還不如置之不理。獲得真正成功地公開秘密就是要全身心地投入到題目中去。

　　27.一個聰明地數(shù)學(xué)書讀者有兩種愿望：首先，看到論證地當(dāng)前一步是正確的。其次，看到當(dāng)前一步的目的。

　　28.解題的成功決定于選擇的正確的角度，決定于從容易接近的一側(cè)來攻克要塞。為了找出哪一個角度是正確的，哪一側(cè)是容易接近的，我們要嘗試各種側(cè)面和角度，我們要變化題目。

　　29.我們不能指望沒有極度的專心就能解答什么有價值的題目。但是如果非常專心地集中注意力于某一點上，我們很容易就會感到疲勞了。為了保持我們的注意力活躍，注意力指向的對象必須不斷地變化。

　　30.我們常常必須對題目作不同的修改。我們必須一次又一次地變化、重述、變換，直到最終成功地找到一些有用的東西。我們可以在失敗中學(xué)習(xí)，在一次不成功的嘗試中也許會有某個好的想法，而且我們通過修改一次不成功的嘗試也許可以得到一個更為成功的嘗試。

　　31.如果一本教科書的作者含含糊糊地提出一個不完全證明，其中可以明顯看出他對于證明地完全性是該羞愧還是該自負(fù)游移不定，那將是痛苦的。但是當(dāng)不完全證明在適當(dāng)?shù)牡胤降皿w地提出時，他也會有用。它們的目的不是要去代替完全證明（這是它們絕對不可能辦到的），而是要使問題的陳述又趣味性和連貫性。

　　*不完全證明可以作為一種助記手段。

　　32.將關(guān)于制定計劃、尋找方法和選擇行動路線的諺語（簡單說，就是關(guān)于解題的諺語）進(jìn)行收集和歸類會是一項有意思的任務(wù)。

　　*智者從目標(biāo)著手，愚者在起點止步。

　　*釣魚不在于釣而在于魚。

　　*多思出上策。

　　*當(dāng)你找到第一個蘑菇或作出第一個發(fā)現(xiàn)后，再四處看看；它們總是成群生長。

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